Placa quadrada carregada (TA-Fis3)

Campo elétrico produzido sobre o eixo de placa quadrada: a geometria na borda de um corpo plano é importante quando analisamos o campo elétrico nas proximidades da sua superfície? 

Para responder essa pergunta, vamos determinar a intensidade do campo elétrico produzido por uma placa quadrada e comparar o resultado com a equação que fornece a intensidade do campo elétrico para um disco. Todos os cálculos abaixo são realizados por meio da lei de Coulomb.

Considere uma placa de lados 2l e carregada eletricamente com densidade superficial de carga \sigma, conforme mostra a figura abaixo. Determine o vetor campo elétrico em um ponto P situado uma distância z do plano que está localizado sobre o eixo z que atravessa o centro da placa.

Considere um elemento de superfície com área dA e carga dq que está numa coordenada (x,y) em relação ao centro O do placa. A distância R do elemento de carga até o ponto P é obtida por meio da equação:

(1) R^2 = r^2 + z^2= \underbrace{x^2 + y^2}_{r^2} + z^2

onde o vetor \vec{R} é obtido com a soma vetorial:

\vec{z} = \vec{r} + \vec{R}

o que permite escrever:

(2) \vec{R} = \vec{z} - \vec{r} = \vec{z} - (x\hat{i}-y\hat{j})=- x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}

O vetor campo elétrico no ponto P é dado por:

(3) {\displaystyle d\vec{E} = \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat{R} = \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 R^3}\vec{R} = \frac{\sigma dA}{4\pi \epsilon_0 R^3}\vec{R}}

e substituindo as equações 1 e 2 em 3, obtemos a equação:

{\displaystyle d\vec{E} = \frac{\sigma dxdy}{4\pi \epsilon_0 (x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}(-x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})}

que pode ser separada em três integrais:

{\displaystyle \vec{E} = \frac{\sigma}{4\pi \epsilon_0 }\left[\underbrace{-\int_{-l}^{+l}\int_{-l}^{+l}\frac{xdxdy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\hat{i}}_{I} + \underbrace{\int_{-l}^{+l}\int_{-l}^{+l}\frac{ydxdy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\hat{j}}_{II}+\underbrace{\int_{-l}^{+l}\int_{-l}^{+l}\frac{zdxdy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\hat{k}}_{III}\right]}

As funções das integrais I e II são ímpares quando integradas em x e y, respectivamente. Portanto, o vetor campo elétrico é descrito apenas pela integral III:

(4) {\displaystyle \vec{E} = \frac{\sigma}{4\pi \epsilon_0}{\int_{-l}^{+l}\int_{-l}^{+l}\frac{zdxdy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}\hat{k}} = \frac{\sigma z}{4\pi \epsilon_0}\left\{ \int_{-l}^{+l} \left[ \underbrace{\int_{-l}^{+l} \frac{dx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}}_{IV} \right] dy\right\}\hat{k}}

Para integração em x da integral IV, usaremos a seguinte transformação:

(5) x = (y^2 + z^2)^{1/2}\tan{\theta}

(6) dx = (y^2 + z^2)^{1/2}\sec^2{\theta}d\theta

Substituindo as equações 5 e 6 na integral IV, obtemos:

{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \int_{-l}^{+l} \frac{(y^2 + z^2)^{1/2}\sec^2{\theta}d\theta}{[(y^2 + z^2)\tan^2{\theta} + (y^2 + z^2)]^{3/2}}}
\\
{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{1}{(y^2 + z^2)} \int_{-l}^{+l} \frac{\sec^2{\theta}d\theta}{(\tan^2{\theta} + 1)^{3/2}}}
\\
{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} =\frac{1}{(y^2 + z^2)} \int_{-l}^{+l} \cos{\theta}d\theta}
\\
(7) {\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} =\frac{1}{(y^2 + z^2)} \sin{\theta}\biggr\rvert_{-l}^{+l}}

Retornando para a variável original por meio da equação 5, é possível resolver a equação 7:

{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} =\frac{1}{(y^2 + z^2)} \frac{x}{(x^2+y^2 + z^2)^{1/2}} \biggr\rvert_{-l}^{+l}=\frac{2l}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}}}

Logo, o vetor campo elétrico da equação 4 fica escrito da seguinte forma:

(8) {\displaystyle \vec{E} = \frac{\sigma z}{4\pi \epsilon_0}\left\{ \int_{-l}^{+l} \left[ \int_{-l}^{+l} \frac{dx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \right] dy\right\}\hat{k}= \frac{2l\sigma z}{4\pi \epsilon_0}\left[ \underbrace{\int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} }_{V}\right]\hat{k}}

Para resolução da integral V, usaremos a seguinte transformação:

(9) {\displaystyle y = (l^2 + z^2)^{1/2}\tan{\theta}}

(10) {\displaystyle dy = (l^2 + z^2)^{1/2}\sec^2{\theta}d\theta}

Substituindo as equações 9 e 10 na integral V, obtemos:

{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \int_{-l}^{+l} \frac{(l^2 + z^2)^{1/2}\sec^2{\theta}d\theta}{[(l^2 + z^2)\tan^2{\theta} + z^2][(l^2 + z^2)\tan^2{\theta} + l^2 + z^2]^{1/2}}}
\\
{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \int_{-l}^{+l} \frac{(l^2 + z^2)^{1/2}\sec^2{\theta}d\theta}{[(l^2 + z^2)\tan^2{\theta} + z^2][(l^2 + z^2)\sec^2{\theta}]^{1/2}}}
\\
{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \int_{-l}^{+l} \frac{\sec{\theta}d\theta}{[(l^2 + z^2)\tan^2{\theta} + z^2]}}

Substituindo a tangente em função de seno e cosseno, obtemos:

{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \int_{-l}^{+l} \frac{\cos{\theta}d\theta}{[(l^2 + z^2)\sin^2{\theta} + z^2\cos^2{\theta}]}}
\\
{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \int_{-l}^{+l} \frac{\cos{\theta}d\theta}{l^2\sin^2{\theta} + z^2}}
\\
(11) {\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} =\frac{1}{z^2}\int_{-l}^{+l} \frac{\cos{\theta}d\theta}{\left[\left(\frac{l}{z}\right)\sin{\theta}\right]^{2} + 1}}

Usando as transformações:

(12) {\displaystyle u = \left(\frac{l}{z}\right)\sin{\theta}}

(13) {\displaystyle du = \left(\frac{l}{z}\right)\cos{\theta}d\theta}

podemos reescrever a equação 11 da seguinte forma:

(14) {\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \frac{1}{z l}\int_{-l}^{+l} \frac{du}{u^{2} + 1}}

A equação 14 pode ser resolvida com auxílio da substituição:

(15) {\displaystyle u = \tan{\alpha}}

(16) {\displaystyle du= \sec^2{\alpha}d\alpha}

Substituindo as equações 15 e 16 na equação 14, obtemos:

{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \frac{1}{z l}\int_{-l}^{+l} \frac{du}{u^{2} + 1}}
\\
{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \frac{1}{z l}\int_{-l}^{+l} \frac{\sec^2{\alpha}d\alpha}{\tan^2{\alpha} + 1}}
\\
{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \frac{1}{z l}\int_{-l}^{+l} \frac{\sec^2{\alpha}d\alpha}{\sec^2{\alpha}}}
\\
{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \frac{1}{z l}\int_{-l}^{+l} d\alpha}
\\
(17) {\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \frac{1}{z l}\arctan{u}\biggr\rvert_{-l}^{+l}}

Para retomar a variável original do problema, precisamos substituir a equação 12 na equação 17:

{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \frac{1}{z l}\arctan{\left[\left(\frac{l}{z}\right)\sin{\theta}\right]}\biggr\rvert_{-l}^{+l}}

onde o seno é substituído por meio da equação 9:

{\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \frac{1}{z l}\arctan{\left(\frac{yl}{z\sqrt{l^2+y^2+z^2}}\right)}\biggr\rvert_{-l}^{+l}}
\\
(18) {\displaystyle \int_{-l}^{+l} \frac{dy}{(y^2 + z^2)(l^2+y^2 + z^2)^{1/2}} = \frac{2}{z l}\arctan{\left(\frac{l^2}{z\sqrt{2l^2+z^2}}\right)}}

Substituindo a equação 18 na equação 8 é possível calcular o vetor campo elétrico no ponto P:

{\displaystyle \vec{E} = \frac{2l\sigma z}{4\pi \epsilon_0}\left[\frac{2}{z l}\arctan{\left(\frac{l^2}{z\sqrt{2l^2+z^2}}\right)}\right]}
\\
(19) {\displaystyle \boxed{\vec{E}_P(z) = \frac{\sigma }{\pi \epsilon_0}\arctan{\left(\frac{l^2}{z\sqrt{2l^2+z^2}}\right)}\hat{k}}}

O vetor campo elétrico produzido ao longo do eixo z por um disco de raio R é dado por [1, 2]:

(20) {\displaystyle \boxed{\vec{E}_D(z) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\hat{k}}}

Na condição de uma superfície infinita, o campo elétrico nas proximidades da superfície (independente da geometria) pode ser calculado com a lei de Gauss [1, 3]:

(21) {\displaystyle \boxed{\vec{E}_G = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{k}}}

e a pergunta que surge é: será que o resultado obtido via lei de Gauss não depende da geometria do corpo? O fato é que a borda do corpo não é considerada nos cálculos da equação 21, o que nos leva pensar que o resultado não depende da geometria; porém, existe um método (mais) explícito para chegarmos nessa conclusão? Podemos realizar a análise com as soluções anteriores combinadas com o resultado da lei de Gauss. Para isso, vamos dividir os módulos das equações 19 e 20 pelo módulo da equação 21:

(22)  {\displaystyle \frac{E_P}{E_G} = \frac{2}{\pi}\arctan{\left(\frac{l^2}{z\sqrt{2l^2+z^2}}\right)}}
\\
(23)  {\displaystyle \frac{E_D}{E_G} = \left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)}

em que E_P e E_D representam os campos elétricos da placa quadrada (equação 19) e do disco (equação 20), respectivamente. Os gráficos das equações 22 e 23 são apresentados abaixo considerando l = R = 1\textrm{ m}.

Os resultados mostram que para z\approx 0, i.e., z \ll l e z \ll R (condições de superfícies infinitas), obtemos:

{\displaystyle \frac{E_P}{E_G} \approx 1}
\\
{\displaystyle \frac{E_D}{E_G} \approx 1}

indicando que as equações 19 e 20 convergem para a equação 21 quando o campo elétrico é calculado nas proximidades da superfície, comprovando que o resultado da equação 21 não depende da geometria do corpo. Entretanto, esse resultado perde a validade para distâncias comparáveis com as dimensões dos corpos, tornando o campo elétrico dependente da geometria.

Referências

[1] NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: Eletromagnetismo. 1. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1997.

[2] DUARTE, D. A., Videoaula: Campo elétrico gerado por disco.
Disponível em https://www.youtube.com/watch?v=vEMkt5NtH5o&t=2227s.

[3] DUARTE, D. A., Videoaula: Exercício sobre lei de Gauss (placa infinita).
Disponível em https://www.youtube.com/watch?v=BWtVdBIG0M4&t=1946s.

  • Desenvolvido com o CMS de código aberto Wordpress
  • Última atualização do site foi em 24 de agosto 2024 - 22:15:31